Artigo:

Aplicando a “Metodologia Marchetti” a publicações de Cesare Marchetti

Carlos Feu Alvim

Resumo:

A metodologia de Cesare Marchetti de ajuste de dados históricos, envolvendo uma variada gama de variáveis, por uma curva logística para projetar seu comportamento é descrita aqui tomando como dados os artigos publicados por ele ao longo de sua vida.

O tratamento dos dados é descrito de uma forma didática com objetivo de ajudar a difundir a metodologia. Um cuidado especial é dedicado para a definição do valor máximo a ser alcançado pela variável estudada comumente denominado “nicho”, sendo apresentada uma técnica simples de determinar esta variável crucial dentro da metodologia adotada.

Palavras chave:

Cesare Marchetti, C. Marchetti, logística, ajuste de dados, publicações, análise de sistemas, determinação do nicho

A Metodologia

Buscando prestar uma homenagem a C. Marchetti e difundir sua metodologia, expomos aqui, de uma forma didática, como tratamos a evolução numérica de suas próprias publicações. Ele já havia feito isto com publicações de outros autores e obras de artistas famosos. A lista de publicações do físico italiano, está disponível no portal Cesare Marchetti ^[1].

Na Figura 1, está representado o número anual de publicações de C. Marchetti de 1952 a 2007. Ele publicou alguns artigos logo após sua graduação em Pisa (1948), enquanto era pesquisador no Centro Informazioni Studi Esperienze – CISE, em Milão 1950-1955.

Nos anos seguintes, ele esteve trabalhando em laboratórios de empresas industriais ou em áreas como a nuclear onde a divulgação pública de informações é restrita. Certamente era o caso de seus estudos sobre a produção de água pesada, considerada como tecnologia sensível.

O número de publicações por ano, (Figura 1), está também representado, na forma cumulativa, na Figura 2. O gráfico dessa figura tem a forma conhecida da curva logística.

Gráfico das publicações anuais de C. Marchetti — Figura 1: Publicações anuais de Cesare Marchetti

Figura das publicações de C. Marchetti na forma cumulativa — Figura 2: Publicações de Cesare Marchetti, acumuladas até o ano

Nossa análise se concentra no período a partir de 1969 que marca o mais importante ciclo de publicação do autor. Foi a partir de sua vinculação ao International Institute for Applied Systems Analysis – IIASA, em Viena, Áustria, em 1974, que sua produção de artigos se tornou mais intensa.

Equações usadas

O tipo de curva logística, mostrado na Figura 1, toma por base a equação diferencial.

dN/dt = c.N.(N*-N) [1]

No caso, dN representa o acréscimo de publicações no espaço de tempo dt tomado aqui como um ano ( dt =1 ano). No exemplo, c é uma constante, N o número acumulado de publicações e N* é o número total das publicações do autor.

Ou seja, o número de publicações, ao longo do tempo, é proporcional ao número das já publicadas (N) e ao número das publicações que falta publicar (N*-N). Assim, a equação tem um termo crescente e outro decrescente.

Isto significa que um autor que já publicou N artigos tem probabilidade maior de publicar novas obras que um que, na mesma fase da vida, publicou um número menor. Este fator crescente é compensado por um fator decrescente que é o número das que faltam publicar. Isso resulta, na prática, em uma função que cresce nos primeiros anos e decresce nos últimos anos, passando por um máximo que coincide com o ano em que completa a metade do total N*.

Se quisermos usar a metodologia para fazer previsões temos uma aparente incoerência já que um dado futuro (N*) é utilizado nessa previsão. A resposta vem da regularidade das curvas que descrevem a trajetória de publicações tanto para casos similares ao que estamos abordando como para outros fenômenos que apresentam uma dinâmica semelhante. No presente caso, com o autor já falecido, a precisão do método já pode ser testada praticamente para todas, ou quase todas, as publicações.

Em todo o caso, como a última publicação registrada foi de 2007, ainda consideramos como se o número total não estivesse fechado e fazemos projeções para o total que não são muito diferentes entre si e tampouco diferem muito do número registrado na lista usada, de 208 publicações.

A equação que representa uma logística decorre da equação diferencial (1) expressa por

N(t) = N* / [1+ Exp (- (a.t +b))] [2]

onde a e b são constantes do ajuste.

O ajuste dos dados de publicações ao longo dos anos é feito usando a representação de Fisher-Pry que lineariza a equação

Log [F / (1-F)] = at + b [3] onde F = N/N*.

Observação: Para facilidade da representação gráfica utilizamos Log10 (logaritmo na base 10) ao invés do LN (logaritmo natural). Isto facilita a correspondência com a escala linear. Naturalmente, na equação [2] deve-se usar, ao invés de exponencial, a potência com base 10.

Ferramentas para a projeção

A principal ferramenta utilizada é a representação dos dados usando a transformada Fisher-Pry para obter as constantes da reta. Esta representação é feita na Figura 3 onde pode-se observar que são mostrados, no eixo vertical, a dupla escala em Log10 (F/(1-F) e o valor de F expresso em percentual.

Ajuste com a escala de Fisher-Pray dos dados cumulativos — Figura 3: Ajuste de curva logística na notação Fisher-Pray que lineariza a curva, são mostrados os parâmetros da curva, o valor esperado para o total das publicações e o tempo Δt de passar de 10% para 90% das publicações de 24 anos.

Como pode ser visto na Figura 3 e nos parâmetros relativos ao ajuste, a concordância é muito boa com índice de desvios quadrados R2 = 0,995.

ajuste logístico da curva integral das publicações — Figura 4: Valores reais e ajuste por equações logísticas do número de publicações de C. Marchetti, anual (acima) e acumulado (abaixo)

O intervalo de tempo em que o autor levou para passar de 10% de suas publicações para 90% foi de 24 anos, o número total de publicações estimado no ajuste por mínimos quadrados foi de 212, as registradas até o ano de 2007 eram de 208 publicações.

A Figura 4 mostra, em escala linear, a comparação da curva logística em “esse” com o valor acumulado do número de publicações. Também mostramos a curva diferencial, na forma de “sino”, comparada com os valores anuais. Ambas as curvas ajustadas apresentam boa aderência aos dados reais.

As figuras anteriores foram expressas ao longo do tempo (em anos). Na equação diferencial [1] temos o valor das publicações anuais (dN/dt) apenas dependente de N e de duas constantes N* e c.

Podemos apresentar os dados em um gráfico cujo eixo horizontal representa o número N de publicações acumuladas e o eixo vertical representa os valores anuais de publicação (dN/dt). Esta representação fornece informações úteis para a determinação do valor total de publicações ao longo da vida do pesquisador.

A Figura 5 mostra os valores do número de publicações a cada ano. Para eludir as variações anuais muito rápidas os valores de N são representados por uma média móvel 3, centradas para cada ponto[2].

O uso dessa aproximação para determinar N* foi sugerido por Omar Campos Ferreira na E&E n° 46 e aplicado em vários dos artigos publicados nessa revista.

Gráfico das publicações por ano em função de N — Figura 5: Ajuste de uma curva de segundo grau para obtenção do valor total de publicações N* = 216

A equação representada é dN/dt = c.N.(N*-N)

que também pode ser expressa como

ΔN =dN/dt = c.N^2 – c.N*.N ou

ΔN = a.N^2 – b.N

onde ΔN é a variação anual onde dt foi tomado como 1 (ano), a e b são as constantes. A fórmula nos permite identificar uma equação de segundo grau que representa uma parábola que passa pelo ponto zero. O ajuste de uma curva de segundo grau nos conduz ao resultado mostrado na Figura 5. Determina-se centro da parábola corresponde N*/2 = 106 que corresponde a N* = 212.

Uma alternativa a esta técnica é representar os dados de ΔN/N, em função de N e obter os parâmetros a e b pelo ajuste de uma reta. O resultado dessa abordagem é mostrado na Figura 6.

Mostra o gráfico da variação de N anual dividida por N, em função de N e ajuste de reta — Figura 6: [Valor anual/valor acumulado de publicações[ em função do valor acumulado, a estimativa do total de publicações é N*= 210.

O valor do número de publicações de Cesare Marchetti avaliados por essa metodologia seria de 210 artigos.

Os valores estimados obtidos para o número de publicações total de Cesare Marchetti, recentemente falecido, baseado nos dados disponíveis até 2007 são mostrados na Tabela 1. Observa-se uma boa coincidência nos valores o que é normal por se dispor praticamente do número total ou de um valor muito próximo a ele até aquele ano.

Também mostramos na Tabela 1 o resultado da aplicação das diferentes técnicas aos valores até 1990, quando sabemos que o número de publicações acumuladas atingiu quase 2/3 das publicações totais, os resultados são bastante aceitáveis. As apurações usando as três técnicas para 1990 são mostrados no Anexo. Já os resultados para 1987, que corresponde a cerca da metade do total, estão naturalmente, sujeitos a maiores incertezas e são também mostrados na Tabela 1.

Tabela 1: Valores encontrados para o total de publicações de Cesare Marchetti usando as diversas técnicas

Técnicas	Dados até 2007	Dados até 1990	Dados até 1987
Interativo Fisher-Pry	212	175	142
Omar	216	237	432
Este trabalho	210	183	164
Publicações até o ano	208	139	112
Percentual das publicações até 2007	100%	54%	67%

Observação: Em alguns casos, pode-se obter melhores resultados combinando uma das duas últimas técnicas para introduzir o valor inicial de N* no processo iterativo que usa a transformada de Fisher Pry.

Conclusão

A aplicação da Metodologia Marchetti às obras do próprio autor funcionou perfeitamente como mostram as Figuras 3 e 4.

A abordagem de Marchetti tem por finalidade fazer previsões do comportamento de uma variável examinando seu histórico ao longo do tempo.

A aplicação da metodologia a muitos casos, mostra que é necessário chegar ou ultrapassar à metade dos eventos observáveis para que a previsão seja confiável.

Este trabalho propõe uma abordagem, que nos parece inédita, para estimar o parâmetro N* que representa o valor total a ser alcançado em um processo que segue a equação logística. No único conjunto de dados aqui analisados a previsão do total foi melhor que nos outros dois. Além disso, trata-se de uma metodologia mais simples já que envolve apenas o ajuste de uma reta.

Cesare Marchetti que era físico de profissão, nos deixou uma metodologia aplicável a vários sistemas complexos em várias áreas. Sua maior lição é que o futuro é fortemente dependente do passado e que não existem mudanças realmente bruscas em variáveis socioeconômicas e existe um padrão de comportamento que rege a maioria delas.

Anexo: Uso dos dados até 1990 (pouco mais da metade dos pontos) para previsões do total de publicações

Rapidamente, podemos utilizar as ´diferentes técnicas com os dados até o ano de 1990 para testar a capacidade de previsão com o uso das diferentes técnicas apresentadas.

A Figura A1 mostra a aplicação do transformada de Fisher-Pry aos dados até 1990. Os resultados, em termos de previsão, para os anos seguintes foram mostrados na Tabela 1.

Técnica de melhor ajuste da logística aplicada a publicações de Marchetti na escala Fisher-PraY — Figura A1: Ajuste de dados 1969 -1990, resultando N* = 142 publicações e tempo para passar de 10% para 90%, 21 anos

Figura A1: Ajuste de dados 1969 -1990, resultando N* = 142 publicações e tempo para passar de 10% para 90%, 21 anos

A segunda técnica é a utilização da técnica sugerida por Omar Campos Ferreira que consiste em representar os dados anuais em função do número de artigos acumulados até o ano N. A técnica consiste em ajustar uma parábola aos dados disponíveis até 1990, como mostrado na Figura A2.

Os valores ajustados estão mostrados Figura A2 e os dados usados são os da média móvel, assim como foi feito na Figura 5.

Figura mostrando ajuste de uma parábola aos dados anuais em função dos dados acumulados — Figura A2: Aplicação da técnica de ajuste de uma parábola que indica N* = 237

Figura A2: Aplicação da técnica de ajuste de uma parábola que indica N* = 237

O ajuste usando a parábola é muito sensível aos últimos valores da série, o obtido até 1990 (237) está dentro do esperado. Como foi indicado na Tabela 1, o resultado, quando se usa dados até 1987 (432), é muito maior que o obtido com as outras técnicas. Isto pode ser atribuído à grande variação das projeções nos últimos anos quando consideramos o caso “até 1987”.

Enfim, na Figura A3, mostramos os resultados com a técnica de representar o valor de ΔN/N (valor anual / valor acumulado) em função de N e ajustar por eles uma reta.

A intersecção da reta com o eixo horizontal permite estimar o valor de N* ou para y = 0 x = -b/a

Ajuste linear para dados variação de dN / N — Figura A3: Técnica para estimar o valor de publicações total, o resultado encontrado é N* = 183

Como pode ser visto na Tabela 1 os valores das diferentes técnicas se aproximam muito, já a de 3 anos antes (1987) apresenta valores bem dispersos. De modo geral, no conjunto de casos que tratamos, observa-se que é necessário ultrapassar o ponto de inflexão dos valores acumulados, metade de N*, para que se tenha uma melhor aproximação da trajetória futura.

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[1]http://cesaremarchetti.altervista.org/?doing_wp_cron=1687219301.6809539794921875000000

[2] A média móvel centrada é a média do valor do próprio ponto e os dois valores vizinhos.

Cesare Marchetti

O físico Cesare Marchetti faleceu em 16 de abril deste ano em Toscana, pouco antes de completar 96 anos tendo nascido em Lucca, Itália em 12 de maio de 1927. Ele ficou conhecido principalmente por seus trabalhos na área de tecnologias energéticas e análise de sistemas com aplicação de equações logísticas.

No ano de 1948, ele formou-se em Física pela Scuola Normale Superiore em Pisa e, em 1949, obteve uma bolsa de estudos no Instituto Niels Bohr em Copenhague.

Desenvolveu a descrição de fenômenos complexos em diversos ramos do conhecimento aplicando, muitas vezes, uma abordagem matemática simples, a partir das equações de Lotka-Volterra. Também se interessou pela análise de ciclos temporais associados a diversos fenômenos socioeconômicos, a maioria relacionados ao hemisfério ocidental.

No Brasil, o também físico José Israel Vargas[1] que manteve com ele profícuo diálogo, aplicou sua metodologia a vários casos, muitos deles envolvendo fenômenos brasileiros como consta em artigo seu no livro Science in Brazil editado pela Academia Brasileira de Ciências – ABC em 2002. A seu convite, Cesare Marchetti esteve no Brasil, no ano de 1986, em programa patrocinado pela IBM que incluiu palestras na Academia Brasileira de Ciências (09/11/1986) e em outras instituições governamentais e de pesquisa.

Muitos dos trabalhos do ex-ministro Vargas, aplicando a metodologia de Marchetti. como “A Prospectiva Tecnológica: Previsão com um Simples Modelo Matemático” (em 2004) foram publicados na Revista Economia Energia – E&E tendo como autores o próprio ex- ministro e outros colaboradores.

A partir de 1974, Marchetti trabalhou como analista de sistemas no IIASA – International Institute for Applied System Analysis, em Laxenburg, Áustria. Nos primeiros 10 anos dedicou particular atenção ao domínio da energia, alargando depois a área de investigação e aplicação da Análise de Sistemas em domínios muito diversificados como: inovação tecnológica, evolução dos sistemas económicos e sociais, dinâmica da população, sistemas de transporte, processos históricos, eventos bélicos, sistemas bancários, bem como os ciclos criativos de músicos, pintores e cientistas, a evolução dos limites do conhecimento e a dinâmica dos impérios e das religiões. Essas análises revelaram o papel fundamental das equações logísticas na descrição e previsão nessas áreas.

Ele ainda manteve seu relacionamento com o IIASA como pesquisador sênior, dividindo seu tempo entre Laxemburg e sua villa entre vinhedos e olivais nas colinas ao norte de Florença.

Antes de dedicar-se a estes temas Cesare Marchetti trabalhou na área energética com destaque para a área nuclear e de uso do hidrogênio.

Entre 1950 e 1955, em Milão, no Instituto CISE (Centro de Estudos de Informação Enel e Montecatini) foi pesquisador no campo da energia nuclear e estudou os métodos de produção de água pesada e colaborou com o Instituto de Bariloche na Argentina.

De 1956 a 1958 no Battelle Institute, em Genebra, trabalhou em química aplicada aos sistemas mecânicos de relógios e em particular em lubrificantes e fricção, tendo concebido um lubrificante gasoso selado no interior de relógios mecânicos.

Em 1958 foi chefe da Divisão de Físico-Química da empresa Agip Nucleare, com pesquisas aplicadas a sistemas de geração nuclear.

De 1959 a 1973, foi Diretor da Divisão de Materiais nos Centros de Pesquisa de Ispra (Itália) e Petten (Holanda), que fazem parte do Joint Research Center (JRC) da EURATOM. No início deste período (1959-60), passou dois anos no Canadá como representante da EURATOM para pesquisas sobre otimização de reatores nucleares.

Nesse ínterim, a partir de 1950, ele prestou vinte anos de consultoria à General Electric em Schenectady e Fairfield (EUA) para previsão e solução de problemas. Um desenvolvimento notável na GE foi a aplicação da tecnologia de turbinas a gás, já utilizadas como motores de aviões, para produzir eletricidade. Na versão aperfeiçoada por Marchetti, o rendimento subiu de 40 para 65%.

As curvas logísticas de Marchetti têm o perfil em esse alongado onde o crescimento de uma variável na natureza acaba encontrando um ponto de máximo. Um dos exemplos pelo qual ele ficou mais conhecido é a chamada Constante de Marchetti, que postula que a quantidade de tempo que o homem dedica, diariamente, para viagens é um pouco acima de uma hora, desde o início de sua existência e em todos os lugares. Assim o raio de crescimento das aglomerações humanas (hoje cidades) é determinado por esse tempo de deslocamento que antes era a distância que o homem percorria a pé e foi aumentando com a velocidade do transporte. Isto estaria antropologicamente enraizado no homo sapiens a partir dos perigos que ele enfrenta quando está fora de um ambiente protegido.

Entre seus achados estatísticos ele comentou com o professor Vargas que, como ele, tinha sempre as mãos frias e que isto estaria associado a uma frequência de batidas do coração abaixo da média. Haveria, como na maioria dos outros casos que estudou, um “nicho” a ser ocupado. No caso, haveria um limite no número total de batidas para o coração humano durante a vida. Ele prognosticava para os dois uma longa vida. Ele tinha razão, o que não se sabe é se isto incluía o item lucidez que ambos conservam ou conservaram.

Este obituário foi publicado pela Academia de Ciências do Brasil em julho de 2023

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Nota: Grande parte das informações aqui incluídas estão disponíveis no “saite” do próprio Marchetti http://cesaremarchetti.altervista.org/

[1] J. I. Vargas é químico de formação, mas a maior parte de seus trabalhos acadêmicos foram na área de Física.

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